Soit \(f\) l'endomorphisme de l'espace vectoriel canonique \({\Bbb R}^3\) dont la matrice dans la base canonique \({\mathcal B}\) est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\ -1&3&-3\\ -2&2&-2\end{pmatrix}$$ montrer que \({\Bbb R}^3=\ker f^2\oplus\ker(f-2\operatorname{Id})\)

Polynôme caractéristique
On calcule le polynôme caractéristique : $$\begin{align}\begin{vmatrix}1-\lambda&1&-1\\ -1&3-\lambda&-3\\ -2&2&-2-\lambda\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}1-\lambda&1&0\\ -1&3-\lambda&-\lambda\\ -2&2&-\lambda\end{vmatrix}&(c_3\gets c_2+c_3)\\ &=-\lambda\begin{vmatrix}1-\lambda&1&0\\ -1&3-\lambda&1\\ -2&2&1\end{vmatrix}\\ &=-\lambda\begin{vmatrix}1-\lambda&1&0\\ 1&1+\lambda&0\\ -2&2&1\end{vmatrix}&(l_2\gets l_2-l_3)\\ &=-\lambda\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\ 1&1+\lambda\end{vmatrix}\\ &=-\lambda^2(\lambda-2)\end{align}$$

Selon le cours, si \(P(\lambda)=(-1)^n(\lambda-a_1)^{\alpha_1}\cdots(\lambda-a_k)^{\alpha_k}\), alors \({\Bbb R}^n=\ker(f-a_1\operatorname{Id})^{\alpha_1}\oplus\ldots\oplus\ker(f-a_k\operatorname{Id})^{\alpha_k}\)
Donc $${\Bbb R}^3=\ker \underbrace{f^2}_{f-0\operatorname{Id}}\oplus\ker(f-2\operatorname{Id})$$

(Polynôme caractéristique)